피타고라스 정리의 증명 탐구하기
탐구 2
다음은 닮음을 이용하여 피타고라스 정리를 증명하는 과정의 일부이다. 아래 순서에 따라 증명을 완성해 보자.
증명
오른쪽 그림과 같이 $\angle \mathrm{C} = 90^*$인 직각삼각형 $\mathrm{ABC}$에서 $\overline{\mathrm{BC}}=a$,
$\overline{\mathrm{CA}}=b,\, \overline{\mathrm{AB}}=c$라 하자.
또 꼭짓점 $\mathrm{C}$에서 빗변 $\mathrm{AB}$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{D}$라 하고
$\overline{\mathrm{CA}}=x,\, \overline{\mathrm{BD}}=y$라 하자.
이때 $\triangle \mathrm{ACD} \sim \triangle \mathrm{ABC}$이므로
$\overline{\mathrm{AC}} : \overline{\mathrm{AB}}=\overline{\mathrm{AD}} : \overline{\mathrm{AC}}$, 즉 $b : c=x : b$
따라서 $b^2=cx$
$\overline{\mathrm{CA}}=b,\, \overline{\mathrm{AB}}=c$라 하자.
또 꼭짓점 $\mathrm{C}$에서 빗변 $\mathrm{AB}$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{D}$라 하고
$\overline{\mathrm{CA}}=x,\, \overline{\mathrm{BD}}=y$라 하자.
이때 $\triangle \mathrm{ACD} \sim \triangle \mathrm{ABC}$이므로
$\overline{\mathrm{AC}} : \overline{\mathrm{AB}}=\overline{\mathrm{AD}} : \overline{\mathrm{AC}}$, 즉 $b : c=x : b$
따라서 $b^2=cx$
(1)
다음은 $\triangle \mathrm{CBD} \sim \triangle \mathrm{ABC}$임을 이용하여 $a^2=cy$가 성립함을
증명하는 과정이다. 빈칸에 알맞은 것을 넣어보자.
증명하는 과정이다. 빈칸에 알맞은 것을 넣어보자.
증명
$\triangle \mathrm{CBD} \sim \triangle \mathrm{ABC}$이므로
$\mathrm{CB}$ : =
:
즉
:
따라서 $a^2=cy$
(2)
다음은 $b^2=cx$와 (1)을 이용하여 $a^2+b^2=c^2$이 성립함을 증명하는 과정이다. 빈칸에 알맞은 것을 넣어보자.
증명
$b^2$ = , $a^2$ = 이므로
$a^2 + b^2$ = =
이때 = 이므로 $a^2+b^2=c^2$이다.
풀이
(1)
$\triangle \mathrm{CBD} \sim \triangle \mathrm{ABC}$이므로
$\mathrm{CB}$ : $\overline{\mathrm{AB}}$ = $\overline{\mathrm{BD}}$ : $\overline{\mathrm{BC}}$ 즉 $a:c$ : $y:a$
따라서 $a^2=cy$
(2)
$b^2$ = $cx$, $a^2$ = $cy$ 이므로
$a^2 + b^2$ = $cy + cx$ = $c(y + x)$
이때 = $x + y = c$ 이므로 $a^2+b^2=c^2$이다.